Question

已知函數f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（Ⅰ）求f（x）的單調減區間；
（Ⅱ）若f（x）在區間[-1，2]．上的最大值為20，求它在該區間上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數f（x）的導函數f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的區間即為函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）先求出端點的函數值f（-2）與f（2），比較f（2）與f（-2）的大小，然后根據函數f（x）在[-1，2]上單調遞增，在[-2，-1]上單調遞減，得到f（2）和f（-1）分別是f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值，建立等式關系求出a，從而求出函數f（x）在區間[-2，2]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，
所以函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，-1），（3，+∞）．
（Ⅱ）因為f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，
所以f（2）＞f（-2）．
因為在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上單調遞增，
又由于f（x）在[-2，-1]上單調遞減，
因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．
故f（x）=-x³+3x²+9x-2，因此f（-1）=1+3-9-2=-7，
即函數f（x）在區間[-2，2]上的最小值為-7．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．以及在閉區間上的最值問題等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．