Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.

（1）若直線與圓相切，求的值；

（2）直線與圓相交于不同兩點，，線段的中點為，求點的軌跡的參數方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）（為參數，）

【解析】

（1）將圓的極坐標方程轉化為直角坐標方程，求得直線的直角坐標方程，根據圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得直線的斜率，從而求得直線的傾斜角.

（2）根據直線的參數方程，求得三點對應參數的關系，結合韋達定理，求得點的軌跡的參數方程.

（1）∵圓的極坐標方程為，

∴的直角坐標方程為，

圓心為，半徑為；

∵直線過點，傾斜角為，

∴當時，不合題意，

當時，斜率為，

則直線的方程為，

即，∵直線與圓相切，

∴，解得，，

即，∴或；

（2）∵直線與圓相交于不同兩點，，

∴由（1）知，，

設，，對應的參數分別為，，，

則，

將代入得，

，

則，∴，

又點的坐標滿足，

即，

故點的軌跡的參數方程是（為參數，）.