Question

已知關于x方程xlnx=ax+1（a∈R），下列說法正確的是（　　）

A．方程可能沒有實數根

B．方程可能有兩個實數根

C．方程一定有一個實數根

D．方程一定有兩個實數根

Answer 1

分析：先將方程變形為lnx=a+

1

x

，構造函數f（x）=lnx-a-

1

x

，確定函數f（x）=lnx-a-

1

x

在（0，+∞）上單調增，再利用零點存在定理即可得到結論．

解答：解：∵x＞0，∴方程xlnx=ax+1可化為lnx=a+

1

x

構造函數f（x）=lnx-a-

1

x

，則f′（x）=

1

x

+

1

x2

＞0
∴函數f（x）=lnx-a-

1

x

在（0，+∞）上單調增
∵x→0時，f（x）＜0，x→+∞時，f（x）＞0
∴方程一定有一個實數根
故選C．

點評：本題重點考查方程根的存在性，考查導數知識的運用，解題的關鍵是構建函數，確定函數的單調性．