Question

已知關于x方程xlnx=ax+1（a∈R），下列說法正確的是（ ）
A．方程可能沒有實數根
B．方程可能有兩個實數根
C．方程一定有一個實數根
D．方程一定有兩個實數根

Answer 1

【答案】分析：先將方程變形為lnx=a+，構造函數f（x）=lnx-a-，確定函數f（x）=lnx-a-在（0，+∞）上單調增，再利用零點存在定理即可得到結論．
解答：解：∵x＞0，∴方程xlnx=ax+1可化為lnx=a+
構造函數f（x）=lnx-a-，則f′（x）=＞0
∴函數f（x）=lnx-a-在（0，+∞）上單調增
∵x→0時，f（x）＜0，x→+∞時，f（x）＞0
∴方程一定有一個實數根
故選C．
點評：本題重點考查方程根的存在性，考查導數知識的運用，解題的關鍵是構建函數，確定函數的單調性．