Question

【題目】已知橢圓： 的短軸長為2，且函數的圖象與橢圓僅有兩個公共點，過原點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點為線段的中垂線與橢圓的一個公共點，求面積的最小值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積的最小值為，此時直線的方程為.

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件建立方程求解；（2）先建立直線的方程，再與橢圓方程聯立，運用坐標建立關于三角形面積公式的目標函數求解：

（1）由題意可知， ，則，

聯立與，得：

根據橢圓與拋物線的對稱性，可得

∴，又，

∴，∴橢圓的標準方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時， ；當直線的斜率為0時， ，

②當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，由，得，

∴，

由題意可知線段的中垂線方程為，由，得，

∴，

∴

即，當且僅當，即時等號成立，此時的面積取得最小值，

∵，∴的面積的最小值為，此時直線的方程為.