Question

已知函數y=f(x)滿足：f(x)=

(Ⅰ)分別寫出x∈[0，1)時y=f(x)的解析式f₁(x)和x∈[1，2)時y=f(x)的解析式f₂(x)；并猜想x∈[n，n+1)，n≥-1，n∈Z時y=f(x)的解析式f_n+1(x)(用x和n表示，不必證明);

(Ⅱ)當x=n+(n≥-1，n∈Z)時，y=f_n+1(x)，x∈[n，n+1)，(n≥-1，n∈Z)的圖象上有點列A_n+1(x，f(x))和點列B_n+1(n+1，f(n+1))，線段A_n+1B_n+2與線段B_n+1A_n+2的交點C_n+1，求點C_n+1的坐標(a_n+1(x)，b_n+1(x))；

(Ⅲ)在前面(Ⅰ)(Ⅱ)的基礎上，請你提出一個點列C_n+1(a_n+1(x)，b_n+1(x))的問題，并進行研究，并寫下你研究的過程.

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)x∈[0，1)時，x-1∈[-1，0)

∴f₁(x)=f(x-1)+1=sinπ(x-1)+1=1-sinπx

x∈[1，2)時，x-1∈[0，1)

∴f₂(x)=f(x-1)+1=1-sin(πx-π)+12+sinπx

x∈[n，n+1)，n≥-1，n∈Z時，

∴f_n+1(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=…n+1+(-1)ⁿ⁺¹sinπx

(Ⅱ)當x=n+

A_n+1(n+，n)，B_n+1(n+1，n+2)，

k_An+1An+2=1，k_Bn+1Bn+2=1

k_An+1Bn+1=4，k_An+2Bn+2=4

C_n+1是平行四邊形A_n+1A_n+2B_n+2B_n+1

C_n+1(n+，n+)，

(Ⅲ)第一類

例如：在(Ⅱ)的條件下，點C_n+1與C_n+2之間具有怎樣的數量關系

解答：C_n+1C_n+2=

第二類

例如：在(Ⅱ)的條件下，點C_n+1與C_n+2之間具有怎樣的位置關系

解答：C_n+1與C_n+2在直線y=x+上

第三類

例如：把(Ⅱ)的條件x=n+改成x∈[n，n+1)時，點C_n+1(a_n+1(x)，b_n+1(x))的運動曲線是什么？

解答：y_c=

即y_c=，只需寫出一個區間段上的即可.