Question

設

a

=（2cosωx，

3

sinωx），

b

=（cosωx，2cosωx）（w＞0），函數f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π：
（Ⅰ） 求f（x）的單調增區間
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=2，b=1，△ABC的面積為

3

2

，求

b+c

sinB+sinC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用斜率的數量積已經二倍角公式兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，利用函數的周期求出ω，通過正弦函數的單調增區間求解f（x）的單調增區間．
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，利用f（A）=2結合（Ⅰ）求出A，通過b=1，△ABC的面積為

3

2

，求出c，利用余弦定理求出a，通過正弦定理求

b+c

sinB+sinC

的值．

解答：解（Ⅰ）函數f（x）=

a

•

b

=（2cosωx，

3

sinωx）•（cosωx，2cosωx）
=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx
=2sin（2ωx+

π

6

）+1．
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，…（3分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

    k∈Z
f（x）的單調增區間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z…．（6分）
（Ⅱ）∵在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，f（A）=2，
∴2sin（2A+

π

6

）+1=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，∵b=1
∴c=2．
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA⇒a=

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

 =

c

sinC

⇒

a+c

sinA+sinC

=2…..（12分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，斜率的數量積的應用，正弦定理與余弦定理的應用，考查計算能力．