Question

設向量

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx）（x∈R，ω＞0），已知函數f（x）=

a

•

b

+1的最小正周期是

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的最大值，并求出f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx），結合函數f（x）=

a

•

b

+1和平面向量數量積公式，我們易求出函數的解析式，進而根據函數f（x）的最小正周期是

π

2

，進而求出ω的值；
（2）根據（1）中的函數的解析式，結合正弦型函數的性質，我們易得到（x）的最大值，及f（x）取得最大值的x的集合．

解答：解：（1）∵

a

=（cosωx，2cosωx），

b

=（2cosωx，sinωx）
∴函數f（x）=

a

•

b

+1=2cos²ωx+2sinωx•cosωx+1
=cos2ωx+1+sin2ωx+1
=

2

sin（2ωx+

π

4

）+2
∵函數f（x）的最小正周期是

π

2

即

π

ω

=

π

2

∴ω=2
（2）由（1）可得f（x）=

2

sin（4x+

π

4

）+2
故當4x+

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z時，函數取最大值2+

2

此時x∈{x|x=

π

16

+

k

2

π，k∈Z}

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積公式，正弦型函數的單調性與ω的關系，正弦型的最值，其中根據平面向量的數量積公式，求出函數的解析式，是解答本題的關鍵．