Question

（2013•麗水一模）設向量

a

=（cosωx-sinωx，-1），

b

=（2sinωx，-1），其中ω＞0，x∈R，已知函數f（x）=

a

•

b

的最小正周期為4π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若sinx₀是關于t的方程2t²-t-1=0的根，且x0∈(-

π

2

，

π

2

)，求f（x₀）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換以及兩個向量的數量積公式化簡函數f（x）的解析式為

2

sin(2ωx+

π

4

)，再根據周期求得ω的值．
（Ⅱ）求得 方程2t²-t-1=0的兩根，可得sinx0=-

1

2

，可得x₀的值，從而求得f（x₀）的值．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

a

•

b

=(cosωx-sinωx，-1)•(2sinωx，-1)=2sinωxcosωx-2sin²ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)，
因為 T=4π，所以，ω=

2π

2ω

=4πω=

1

4

．…（6分）
（Ⅱ） 方程2t²-t-1=0的兩根為 t1=-

1

2

，t2=1，
因為 x0∈(-

π

2

，

π

2

)，所以 sinx₀∈（-1，1），所以sinx0=-

1

2

，即x0=-

π

6

．
又由已知 f(x0)=

2

sin(

1

2

x0+

π

4

)，
所以 f(-

π

6

)=

2

sin(-

π

12

+

π

4

)=

2

sin

π

6

=

2

2

．…（14分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，兩個向量的數量積公式的應用，屬于中檔題．