Question

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點．
（1）證明E，F，G，H四點共面；
（2）證明BD∥平面EFGH．

Answer 1

分析：（1）由向量加法法則得

BG

=

1

2

（

BC

+

BD

），從而得到

EG

=

EB

+

BG

=

EB

+

1

2

（

BC

+

BD

），結合F是BC中點、EH是△ABD的中位線，可得

EG

=

EF

+

EH

，從而得到得

EG

、

EF

、

EH

是共面的向量，由此可得E、F、G、H四點共面；
（2）根據向量加法的三角形法則，結合三角形中位線定理得到

BD

=2

EG

+2

GH

，從而向量

BD

與

EG

，

GH

共面．再由BD是平面EFGH的殊一條直線，可得BD∥平面EFGH．

解答：解：如圖，連結EG，BG．
（1）∵BG是△BCD的中線，可得

BG

=

1

2

（

BC

+

BD

）
∴

EG

=

EB

+

BG

=

EB

+

1

2

（

BC

+

BD

）
∵

BF

=

1

2

BC

，

EH

=

1

2

BD

∴

EG

=

EB

+

BF

+

EH

=

EF

+

EH

，
根據向量共面的充要條件，得
可得E，F，G，H四點共面．
（2）∵

EH

=

EA

+

AH

，

EH

=

EG

+

GH

∴

BD

=

BA

+

AD

=2

EA

+2

AH

=2

EH

=2（

EG

+

GH

）=2

EG

+2

GH

，
結合

EG

，

GH

不共線，可得

BD

與

EG

，

GH

共面．
又∵BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH．

點評：本題采用向量的線性運算的方法證明四點共面和線面平行．著重考查了三角形中位線定理、向量的加減法法則等知識，考查了向量共面與線面平行的關系，屬于中檔題．