Question

袋中有大小相同的三個球，編號分別為1、2和3，從袋中每次取出一個球，若取到的球的編號為偶數，則把該球編號加1（如：取到球的編號為2，改為3）后放回袋中繼續取球；若取到球的編號為奇數，則取球停止，用X表示所有被取球的編號之和．
（Ⅰ）求X的概率分布；
（Ⅱ）求X的數學期望與方差．

Answer 1

分析：（I）隨機變量X所有可能的取值為1，3，5，分別求出隨機變量X取每個值的概率，列表寫出分布列．
（II）利用數學期望公式和方差的公式進行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）在X=1時，表示第一次取到的1號球，取球停止；…（1分）
在X=3時，表示第一次取到2號球，第二次取到1號球，或第一次取到3號球，取球停止；…（4分）
在X=5 時，表示第一次取到2號球，第二次取到3號球，取球停止…（6分）
X的概率分布為P（X=1）=

1

3

，P（X=3）=

1

3

×

1

3

+

1

3

=

4

9

，P（X=5）=

1

3

×

2

3

=

2

9

，

X	1	3	5
P	1 3	4 9	2 9

（Ⅱ）E（X）=1×

1

3

+3×

4

9

+5×

2

9

=

25

9

D（X）=

1

3

×（1-

25

9

）²+

4

9

×（3-

25

9

）²+

2

9

×（5-

25

9

）²=

176

81

點評：本題考查求求離散型隨機變量的分布列，求出隨機變量X所有可能的取值的概率，是解題的難點，以及數學期望和方差等有關知識．