Question

設遞增等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中項，
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d（d＞0），由a₃=1，a₄是a₃和a₇的等比中項列方程組，然后求解等差數列的首項和公差，則通項公式可求；
（Ⅱ）直接代入等差數列的前n項和公式即可．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d（d＞0），
由a₃=1得，a₁+2d=1①，由a₄是a₃和a₇的等比中項得，(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)②，
整理②得，2a1d+3d2=0，因為d＞0，所以2a₁+3d=0③，
聯立①③得：a₁=-3，d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=-3+2（n-1）=2n-5．
（Ⅱ）數列{a_n}的前n項和S_n=na1+

n(n-1)d

2

=-3n+

2n(n-1)

2

=n²-4n．

點評：本題考查了等差數列的通項公式，考查了等比中項的概念，考查了等差數列的前n項和，是基礎題．