Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D與AD1交于點(diǎn)E，AA1＝AD＝2AB＝4.

（1）證明：AE⊥平面ECD；

（2）求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是矩形，得到CD⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)，證得CD⊥AE，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理，即可得到AE⊥平面ECD.；

（2）連接CD1，得到點(diǎn)C1到平面AEC的距離即為點(diǎn)C1到平面ACD1的距離， 利用“等體積法”，結(jié)合V，即可求得點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴AA1⊥CD，

又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AE，

∵四邊形ADD1A1是平行四邊形，∴E是A1D的中點(diǎn)，

∵AA1＝AD，∴AE⊥DE，又CD∩DE＝D，∴AE⊥平面ECD.

（2）連接CD1，則點(diǎn)C1到平面AEC的距離即為點(diǎn)C1到平面ACD1的距離，

在△ACD1中，AC＝2，AD1＝4，CD1＝2，

∴CE⊥AD1，且CE2，

∴S4，

設(shè)C1到平面ACD1的距離為h，則V，

又V，

所以4h＝16，即h，∴點(diǎn)C1到平面AEC的距離為.