Question

【題目】直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4acosθ，直線l與曲線C交于不同的兩點M，N．

（1）求實數a的取值范圍；

（2）已知a＞0，設點P（﹣1，﹣2），若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．（2）a．

【解析】

（1）轉化出直線l的普通方程：y＝x﹣1，曲線C的普通方程：y2＝4ax，聯立方程組令即可得解；

（2）設M，N分別對應t1，t2，轉化條件得，

，解出方程即可得解.

（1）∵直線l的參數方程為（t為參數），

∴直線l的普通方程為：y＝x﹣1，

∵曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝4acosθ，

∴曲線C的普通方程為：y2＝4ax，

聯立，得y2＝4a（y+1），即y2﹣4ay﹣4a＝0，

∵直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，

∴由題知＝（﹣4a）2﹣4（﹣4a）＝16a2+16a＞0，

解得a＜-1或a＞0，

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．

（2）設M，N分別對應t1，t2，

則有()2＝4a×(t-1)，∴，

由題知|MN|2＝|PM|×|PN|，

由韋達定理有：（t1﹣t2)2＝|t1t2|，∴（t1+t2）2＝5t1t2，

∴[4(a+1)]2＝5×8(a+1)，

解得a．