Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在，（）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：；

（2）是否存在，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的，如果存在，求出直線方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，

【解析】

（1）求導(dǎo)，則，化簡(jiǎn)得到，再利用均值不等式到答案.

（2）先設(shè)切點(diǎn)求切線方程，再根據(jù)切線重合得關(guān)于一個(gè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)的情況，即得答案.

（1）當(dāng)時(shí)，，所以，

由題意，得，因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以，

所以．

（2）曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

，

函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，

要存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，

只需在處使與重合，

所以

由①得代入②整理得，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

則，設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

所以．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，

此時(shí)，所以方程有唯一解，

即，此時(shí)切線方程為；

（ⅱ）當(dāng)且時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，則，

故函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故，

故，同理可證，成立．

因?yàn)?/span>，則

.

又由當(dāng)時(shí)，，可得，

則，

所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

即方程有兩個(gè)根，，

即，此時(shí)，，則，

所以，

因?yàn)?/span>，，所以，所以直線不唯一．

綜上所述，存在，使是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的．