Question

【題目】已知關于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，記實數m的最大值為M．
（1）求M的值；
（2）正數a，b，c滿足a+2b+c=M，求證： + ≥1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由絕對值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，

若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，

則滿足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．

∴M=4．

（2）解：由（1）知正數a，b，c滿足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1

∴ + = [（a+b）+（b+c）]（ + ）= （1+1+ + ）≥ （2+2 ）≥ ×4=1，

當且僅當 = 即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2時，取等號．

∴ + ≥1成立

【解析】（1）根據絕對值不等式的性質進行轉化求解．（2）利用1的代換，結合基本不等式的性質進行證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．