Question

已知數列{a_n}的前n和S_n滿足an+1=3Sn+1(n∈N*)且a₁=1；數列{b_n}滿足b_n=log₄a_n
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）證明{b_n}為等差數列；
（3）數列{c_n}滿足c₁=1，當n≥2時有cn=

1

bnbn+1

問是否存在最小的正整數t使得c1+c2+…+cn≤

7

15

t對任意的正整數n都成立，若存在求出，若不存在說明理由？

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=3S_n+1可得當n≥2時有a_n=3S_n-1+1，兩式相減整理得

an+1

an

=4(n≥2)，結合等比數列的通項公式可求
（2）由等差數列的定義可知只要證出b_n+1-b_n為常數即可
（3）由（2）知，當n≥2時有cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)，利用裂項可求和，可求

解答：解：（1）a_n+1=3S_n+1…①
當n≥2時有a_n=3S_n-1+1…②
由①-②整理得

an+1

an

=4(n≥2)…（2分）
∵a₂=3a₁+1=4∴

a2

a1

=4
∴{a_n}是以a₁=1，公比q=4的等比數列{a_n}通項公式為an=4n-1…（4分）
（2）證明：∵bn+1-bn=log4an+1-log4an=log4

an+1

an

=1為常數
且b₁=0
∴{b_n}是以b₁=0，公比d=1為等差數列…（7分）
（3）由（2）知b_n=n-1
當n≥2時有cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

(n≥2)…（9分）
∴c1+c2+…+cn=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

∵2-

1

n

＜2∴

7

15

t≥2
即t≥

30

7

…（11分）
∴存在最小的正整數t=5使得c1+c2+…+cn≤

7

15

t對任意的正整數n都成立…（12分）

點評：本題主要考查了由數列的遞推公式構造等比數列求解通項及等差熟練地的定義在等差數列的判斷或證明中的應用，裂項求和是求解（3）的關鍵