Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知acosB=2bcosA（Ⅰ）求證：

a2-b2

c2

=

1

3

；（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，且最大邊的邊長為

17

，求最小邊的邊長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的三邊，利用余弦定理表示出cosB和cosA，代入已知的等式中，化簡即可得證；
（Ⅱ）利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡已知等式左邊的分子，并利用完全平方公式變形，分母利用平方差公式變形，約分后整理得到關于sinB和cosB的關系，再利用同角三角函數間的基本關系求出tanB的值，利用正弦定理化簡acosB=2bcosA，等式左右兩邊同時除以cosAcosB后，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切后得到tanA=2tanB，由tanB的值求出tanA的值，然后利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan（A+B），將tanA和tanB的值代入求出tan（A+B）的值，利用三角形的內角和定理及誘導公式變形求出tanC的值，根據tanA，tanB及tanC的值都大于0，得到此三角形為銳角三角形，根據正切函數為增函數得到A為最大角，C為最小角，進而由tanA及tanC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA和sinC的值，由最長邊a，sinA及sinC的值，利用正弦定理即可求出最小邊c的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
代入acosB=2bcosA中得：a•

a2+c2-b2

2ac

=2b•

b2+c2-a2

2bc

，
整理得：a²+c²-b²=2b²+2c²-2a²，即3a²-3b²=c²，
∴

a2-b2

c2

=

1

3

；
（Ⅱ）∵

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，
∴

(cosB+sinB)2

(cosB+sinB)(cosB-sinB)

=

cosB+sinB

cosB-sinB

=-3，
整理得：cosB+sinB=-3cosB+3sinB，
即：tanB=2，
由正弦定理化簡acosB=2bcosA得：
sinAcosB=2sinBcosA，
可得：tanA=2tanB=4，
則tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

6

7

，
又tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，
∴tanC=

6

7

，
∵tanA＞tanB＞tanC＞0，且A，B及C為三角形的內角，
可得

π

2

＞A＞B＞C＞0，
∴sinA=

1-cos2A

=

1- 1 1+tan2A

=

4 17

17

，
sinC=

1-cos2C

=

1- 1 1+tan2C

=

6 85

85

，
又a=

17

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

asinC

sinA

=

3 85

10

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正切函數公式，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，以及正切函數的增減性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．