Question

（2012•蘭州模擬）已知函數f（x）=x+ln（1-x），e為自然對數的底數．
（1）若x＜1時，恒有f（x）+m≤0成立，求實數m的取值范圍；
（2）若n≥2，n∈N^*，證明(1+

1

2!

)(1+

1

3!

)…(1+

1

n!

)＜e．

Answer 1

分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的最大值，x＜1時，恒有f（x）+m≤0成立，等價于x＜1時，恒有m≤-f（x）成立，由此可求實數m的取值范圍；
（2）由（1）得，當x≤0時，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x，由此進行放縮，裂項，即可證得結論．

解答：（1）解：函數的定義域為（-∞，1），求導函數可得：f′(x)=1-

1

1-x

=

x

x-1

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＜1，∴x＜0；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＜1，∴0＜x＜1
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減
∴f（x）_max=f（0）=0
∵x＜1時，恒有f（x）+m≤0成立，
∴x＜1時，恒有m≤-f（x）成立，
∴m≤0
∴實數m的取值范圍是（-∞，0]；
（2）證明：由（1）得，當x≤0時，恒有f（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
∴ln[(1+

1

2!

)(1+

1

3!

)…(1+

1

n!

)]=ln(1+

1

2!

)+ln(1+

1

3!

)+…+ln(1+

1

n!

)＜

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

≤

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1
∴(1+

1

2!

)(1+

1

3!

)…(1+

1

n!

)＜e．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，屬于中檔題．