Question

半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是

-2

．

Answer 1

分析：由題意可得

PA

+

PB

=2

PO

，要求的式子即 2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|．再根據(jù)|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=2為定值，利用基本不等式求得-2|

PO

|•|

PC

|的最小值．

解答：解：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以

PA

+

PB

=2

PO

，
從而 (

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|．
又|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=2為定值，再根據(jù)|

PO

|•|

PC

|≤(

| PO |+| PC |

2

)2=1，
可得-2|

PO

|•|

PC

|≥-2，
所以當(dāng)且僅當(dāng)|

PO

|=|

PC

|=1時(shí)，即P為OC的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
(

PA

+

PB

)•

PC

 取得最小值是-2，
故答案為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．