Question

如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上與A、B不同的任意一點(diǎn)，P是半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是

-2

．

Answer 1

分析：根據(jù)O為AB的中點(diǎn)，推出(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

，又由OPC三點(diǎn)共線，得到|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=2為定值，然后推出(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值．

解答：解：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，
所以

PA

+

PB

=2

PO

，
從而則(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

||

PC

|；
又由OPC三點(diǎn)共線
又|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=2為定值，
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">|

PO

||

PC

|≤(

| PO |+| PC |

2

 )2
所以當(dāng)且僅當(dāng)|

PO

|=|

PC

|=1，
即P為OC的中點(diǎn)時(shí)，
(

PA

+

PB

)•

PC

取得最小值是-2，
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式，利用基本不等式是解答本題的關(guān)鍵．