Question

如圖，半圓的直徑AB=2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點，若P是半徑OC上的動點．
（I）試用

OA

，

OP

表示

PA

，

PB

；
（II）若點P是OC的中點，求

PA

•

PB

的值；
（III）求（

PA

+

PB

）•

PC

的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的三角形法則即得：

PA

=

OA

-

OP

，

PB

=-

OA

-

OP

；
（II）根據題意，由向量的加減法可得

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（-

OA

-

OP

），結合數量積的公式，計算可得答案；
（III）先利用中線的性質得

PA

+

PB

=2

PO

，再代入所求問題得（

PA

+

PB

）•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|，利用和為定值借助于基本不等式即可求出 (

PA

+

PB

)•

PC

的最小值．

解答：解：（I）利用向量的三角形法則得：

PA

=

OA

-

OP

，

PB

=-

OA

-

OP

（II）

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（-

OA

-

OP

）=

OP

 2-

OA

 2=

1

4

-1=-

3

4

；
（III）因為

PA

+

PB

=2

PO

，
∴（

PA

+

PB

）•

PC

=2

PO

•

PC

=-2|

PO

|•|

PC

|．
又因為|

PO

|+|

PC

|=|

OC

|=1≥2

| PO| •| PC|

⇒|

PO

|•|

PC

|≤

1

4

．
所以 (

PA

+

PB

)•

PC

≥-

1

2

．
∴（

PA

+

PB

）•

PC

的最小值-

1

2

．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用以及基本不等式的應用問題，是對基礎知識的考查，屬于基礎題目．