Question

已知函數，其中為常數，且。

當時，求在（ ）上的值域；

若對任意恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）  

解析:

（Ⅰ）當時，     得        ……2分

    令，即，解得，所以函數在上為增函數，

    據此，函數在上為增函數，                  ………………4分

    而，，所以函數在上的值域為…6分

（Ⅱ）由令，得即

      當時，，函數在上單調遞減；

      當時，，函數在上單調遞增； ……………7分

      若，即，易得函數在上為增函數，

此時，，要使對恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此時無解…8分

若，即，易知函數在上為減函數，在上為增函數，

要使對恒成立，只需，即，

由和

得.                                ………………10分

      若，即，易得函數在上為減函數，

此時，，要使對恒成立，只需即可，

所以有，即，又因為，所以.   ……………12分

      綜合上述，實數a的取值范圍是.    ……………13分