Question

已知函數f（x）=（x²-a）e^x．
（1）若a=3，求f（x）的單調區間和極值；
（2）若x₁，x₂為f（x）的兩個不同的極值點，且，若恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意把a=3代入解析式，然后對函數求導，令導數大于0 解出函數的單調遞增區間，在令導數小于0解出的為函數的單調區間；
（II）由題意求出函數的導函數令導函數為0，再有恒成立，得到關于a的函數式子g（a），判斷該函數的極值與最值即
解答：解（1）∵a=3，
∴f（x）=（x²-3）e^x，f'（x）=（x²+2x-3）e^x=0
∴x=-3或x=1
令f'（x）＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）
令f'（x）＜0，解得x∈（-3，1），
∴f（x）的遞增區間為（-∞，-3），（1，+∞）；遞減區間為（-3，1）
當x=-3時，函數有極大值為6e^-3，當x=1時函數有極小值為-2e；
（2）由（x）=（x²+2x-a）e^x=0可得x²+2x-a=0
由題意兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=-a，
又∵，
∴||≥4||
∴|x₁+x₂|≥4|x₁x₂|
∴-≤a≤
且△=4+4a＞0，∴-≤a≤
設g（a）=3f（a）-+3a=3（a²-a）e^a-+3a
∴g′（a）=3（a²+a-1）（e^a-1）=0⇒a=或a=0
又∵-≤a≤
函數在[-，0）上單調遞增，在[0，]上單調遞減
∴g（a）max=g（0）=0
∴b＞0
點評：此題考查了利用導函數求出函數的單調區間，還考查了利用導函數求出函數的最值及學生的計算能力，轉化思想．