Question

存在實數x₀使得關于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，則實數a的取值范圍是

-2＜a＜-

1

2

或a＞0．

．

Answer 1

分析：由題意知這是一個存在性的問題，設y=(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1，須對a進行分類討論：①當a＞0時，拋物線開口向上，存在實數x₀使得關于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，②當a＜0時，要使得存在實數x₀使得關于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，△＞0，綜上所述，即可得出實數a的取值范圍．

解答：解：設y=(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1，
①當a＞0時，拋物線開口向上，存在實數x₀使得關于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，
②當a＜0時，要使得存在實數x₀使得關于x的不等式(a+

1

a

)x2+

15

x+a+

1

a

+1＞0成立，
△＞0，即在15-4(a+

1

a

)(a+

1

a

+1)＞0，
解之得：-

5

2

＜a+

1

a

＜0，
∴-2＜a＜-

1

2

綜上所述，實數a的取值范圍是-2＜a＜-

1

2

或a＞0．
故答案為-2＜a＜-

1

2

或a＞0．

點評：本小題主要考查二次函數的圖象與性質、一元二次不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．