Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

4 -|8x-12|， 1≤x≤2 1 2 f( x 2 )， x＞2

，則（　　）

• A、函數(shù)f（x）的值域為[1，4]
• B、關于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個不相等的實數(shù)根
• C、當x∈[2，4]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2
• D、存在實數(shù)x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合分別進行判斷即可．

解答：解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
A．則當x=1時，f（1）=0，∴函數(shù)的值域為[0，4]，故A錯誤．
B．當n=1時，由f（x）-

1

2n

=0得f（x）=

1

2

，
∵f（12）=

1

2

f（6）=

1

2

，則f（x）=

1

2

有7個不同的根，故B錯誤．
C．當x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的圖形的面積為S，則S=

1

2

×1×4=2，故C正確；
D．由xf（x）＞6得f(x)＞

6

x

，畫出函數(shù)y=

6

x

的圖象，可知y=

6

x

與函數(shù)y=f（x）有交點，
如x=

3

2

，3，6等，因此不存在x₀，使得不等式即x₀f（x₀）＞6成立，故D錯誤．
綜上可知：C正確．
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)圖象和性質(zhì)的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．