Question

（2013•資陽二模）已知定義在[1，+∞）上的函數f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，則（　　）

• A．函數f（x）的值域為[1，4]
• B．關于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個不相等的實數根
• C．當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2
• D．存在實數x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

分析：分類討論：①當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8x-8，；當

3

2

＜x≤2時，f（x）=16-8x；②當2＜x≤3時，則1＜

x

2

≤

3

2

，此時f（x）=

1

2

(8×

x

2

-8)=8×

x

22

-4=2x-4；
當3＜x≤4時，則

3

2

＜

x

2

≤2，此時f（x）=

1

2

(16-8×

x

2

)=8-8×

x

22

；依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）=

23-n

3×2n-2-2n-1

(x-2n-1)=2^5-2n（x-2^n-1），
此時，0≤f（x）≤2^3-n；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．據此即可判斷答案．

解答：解：①當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8x-8，此時，0≤f（x）≤4；當

3

2

＜x≤2時，f（x）=16-8x，此時，0≤f（x）＜4；
②當2＜x≤3時，則1＜

x

2

≤

3

2

，此時f（x）=

1

2

(8×

x

2

-8)=8×

x

22

-4=2x-4，此時，0≤f（x）≤2；
當3＜x≤4時，則

3

2

＜

x

2

≤2，此時f（x）=

1

2

(16-8×

x

2

)=8-8×

x

22

，此時，0≤f（x）＜2；
…，
依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）=

23-n

3×2n-2-2n-1

(x-2n-1)=2^5-2n（x-2^n-1），
此時，0≤f（x）≤2^3-n；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．
據此可得：函數f（x）的值域為[0，4]，故A不正確；當n=1時，f(x)=

1

2

，有且僅有7個不等實數根，不是2×1+4=6個不等實數根，故B不正確；當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，函數f（x）的圖象與x軸圍成的面積S=

1

2

×(2n-2n-1)×23-n=2，故C正確；xf（x）＞6?f(x)＞

6

x

，由f（x）的圖象可得到：當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，f(x)≤f(3•2n-2)=23-n=

6

3•2n-2

可得：f(x)≤

6

x

，故D不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選C．

點評：本題綜合考查了分類討論思想方法、直線方程、函數的單調性、函數的交點與方程的根、如何否定一個命題等基礎知識與基本技能，考查了數形結合的方法與能力、類比推理能力和計算能力．