Question

10．已知命題p：指數函數y=（a-1）^x在R上是單調函數；命題q：?x∈R，x²-（3a-2）x+1=0．若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時的a的范圍，通過討論p，q的真假，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：命題p為真命題，則a-1＞1或0＜a-1＜1．
∴a＞2或∴1＜a＜2．…（2分）
命題q為真命題則（3a-2）²-4≥0，解得a≤0或$a≥\frac{4}{3}$．…（4分）
由命題p∨q為真命題，命題p∧q為假命題，可知命題p、q恰好一真一假．…（5分）
（1）當命題p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}a＞2或1＜a＜2\\ 0＜a＜\frac{4}{3}\end{array}\right.$，∴$1＜a＜\frac{4}{3}$．…（8分）
（2）當命題p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}a≤1或a=2\\ a≤0或a≥\frac{4}{3}\end{array}\right.$，∴a≤0或a=2．…（11分）
綜上，實數a的取值范圍為$（-∞，0]∪（1，\frac{4}{3}）∪\{2\}$．…（12分）

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查指數函數以及二次函數的性質，是一道基礎題．