Question

已知動點P（x，y）與兩個定點M（-1，0），N（1，0）的連線的斜率之積等于常數λ（λ≠0）
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）試根據λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當λ=2時，對于平面上的定點E(-

3

，0)，F(

3

，0)，試探究軌跡C上是否存在點P，使得∠EPF=120°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解、（1）由題設可知；PM，PN的斜率存在且不為0，
則由k_PM•k_PN=λ得：

y

x+1

•

y

x-1

=λ，即x2-

y2

λ

=1  (y≠0)．
所以動點P的軌跡C的方程為x2-

y2

λ

=1  (y≠0)；
（2）討論如下：
①當λ＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線（除去頂點）
②當-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）
③當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心，1為半徑的圓（除去點（-1，0），（1，0））
④當λ＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸兩個端點）；
（3）當λ=2時，軌跡C的方程為x2-

y2

2

=1  (y≠0)，顯然定點E、F為其左右焦點．
假設存在這樣的點P，使得∠EPF=120°，記∠EPF=θ，
設PE=m，PF=n，EF=2

3

，
那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m²+n²-2mn=4，
(2

3

)2=m2+n2-2mncosθ，
兩式聯立得：2mn（1-cosθ）=8，所以mn=

4

1-cosθ

=

4

1-cos120°

=

8

3

．

S△EPF=

1

2

mnsin120°=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

 
再設P（x_P，y_P）
又因為S△EPF=

1

2

|EF||yP|=

1

2

×2

3

|yP|=

2 3

3

所以|yP|=

2

3

故yP=±

2

3

代入橢圓的方程可得：xP2-

(± 2 3 )2

2

=1
所以xP=±

11

3

，所以滿足題意的點P有四個，坐標分別為：(

11

3

，

2

3

)，(-

11

3

，

2

3

)，(

11

3

，-

2

3

)，(-

11

3

，-

2

3

)．