Question

【題目】已知函數f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）.

（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間：

（2）將f（x）的圖象向左平移個單位后得到函數g（x）的圖象，若方程g（x）＝m在區間[0，]上有解，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的最小正周期為π;函數的減區間為[kπ，kπ]，k∈Z（2）m∈[﹣2，1]

【解析】

（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再根據正弦函數的周期性和單調性，得出結論；

（2）利用正弦函數的定義域和值域，求得的范圍，進而可得的范圍.

（1）函數f（x）＝2cosx（sinx﹣cosx）sin2x﹣（1+cos2x）＝2sin（2x）﹣1，

故函數的最小正周期為π.

令2kπ2x2kπ，求得kπx≤kπ，可得函數的減區間為[kπ，kπ]，k∈Z.

（2）將f（x）的圖象向左平移個單位后，得到函數g（x）＝2sin（2x）﹣1＝2sin（2x）﹣1的圖象.

在區間[0，]上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，f（x）∈[﹣2，1].

若方程g（x）＝m在區間[0，]上有解，則m∈[﹣2，1].