Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，過左焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若圓上一點處的切線交橢圓于兩不同點，求弦長的最大值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）根據通徑和離心率及橢圓中的關系，可求得橢圓的標準方程。

（Ⅱ）討論當斜率是否存在。當斜率不存在時，易得切線方程和切點坐標，進而得到的值。當斜率存在時，設出直線方程，根據直線與圓相切，得到；聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理和弦長公式表示出，再用換元法及函數單調性判斷的最值。

（Ⅰ）由已知，設橢圓的方程為，

因為，不妨設點，代入橢圓方程得，，

又因為， 所以，，所以，，

所以的方程為.

（Ⅱ）依題意，圓上的切點不能為，

①當直線的斜率不存在時，其方程為，此時兩點的坐標為，所以.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由直線與圓相切，得，

即，設，

聯立得，，，

所以

所以，令，則，，

，越大，越大，所以，即.

綜合①②知，弦長的最大值為.