Question

已知a，x∈R，函數(shù)．
（1）設(shè)t=sinx+cosx，把函數(shù)f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)g（t），求g（t）表達(dá)式和定義域；
（2）對(duì)任意，函數(shù)f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
∴．
∵．
∴，定義域：．
（2）∵，∴，
∵函數(shù)f（x）＞-3-2a恒成立，∴恒成立，
得：，
∵t-2＜0，∴，
設(shè)，∵，
∴函數(shù)p（t）在上是遞減函數(shù)，
∴a＞p_max（x）=p（1）=3．
分析：（1）利用兩角和的正弦公式可得，把t=sinx+cosx兩邊平方化為．代入即可得到g（t）及其定義域；
（2））由，可得，通過換元，由函數(shù)f（x）＞-3-2a恒成立，分離參數(shù)即可得到，
利用導(dǎo)數(shù)或單調(diào)性的定義即可得到p（t）的單調(diào)性和值域．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握兩角和的正弦公式、sinx+cosx與sinxcosx的關(guān)系、倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)性的定義、分離參數(shù)法是解題的關(guān)鍵．