Question

已知a，x∈R，函數(shù)f(x)=sin2x-(2

2

+

2

a)sin(x+

π

4

)-

2 2

cos(x- π 4 )

．
（1）設(shè)t=sinx+cosx，把函數(shù)f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)g（t），求g（t）表達(dá)式和定義域；
（2）對任意x∈[0，

π

2

]，函數(shù)f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
∴sinxcosx=

t2-1

2

．
∵f(x)=2sinxcosx-(2+a)(sinx+cosx)-

4

sinx+cosx

．
∴f(x)=g(t)=t2-(2+a)t-

4

t

-1，定義域：[-

2

，0)∪(0，

2

]．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[1，

2

]，
∵函數(shù)f（x）＞-3-2a恒成立，∴t2-(2+a)t-

4

t

-1＞-3-2a恒成立，
得：t2-2t-

4

t

+2＞(t-2)a，
∵t-2＜0，∴a＞

t2-2t

t-2

-

4-2t

t(t-2)

=t+

2

t

=p(t)，
設(shè)1≤t1≤t2≤

2

，∵p(t2)-p(t1)=(t2-t1)(

t1t2-2

t1t2

)＜0，
∴函數(shù)p（t）在[1，

2

]上是遞減函數(shù)，
∴a＞p_max（x）=p（1）=3．