Question

已知a，x∈R，函數．
（1）設t=sinx+cosx，把函數f（x）表示為關于t的函數g（t），求g（t）表達式和定義域；
（2）對任意，函數f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和的正弦公式可得，把t=sinx+cosx兩邊平方化為．代入即可得到g（t）及其定義域；
（2））由，可得，通過換元，由函數f（x）＞-3-2a恒成立，分離參數即可得到，
利用導數或單調性的定義即可得到p（t）的單調性和值域．
解答：解：（1）∵，
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx，
∴．
∵．
∴，定義域：．
（2）∵，∴，
∵函數f（x）＞-3-2a恒成立，∴恒成立，
得：，
∵t-2＜0，∴，
設，∵，
∴函數p（t）在上是遞減函數，
∴a＞p_max（x）=p（1）=3．
點評：熟練掌握兩角和的正弦公式、sinx+cosx與sinxcosx的關系、倍角公式、三角函數的單調性、單調性的定義、分離參數法是解題的關鍵．