Question

中國環保部部長在2012年“六•五”世界環境日高層論壇上表示，國家正在加大污水處理的投入，為此四川蘭家溝污水處理站擬建一座平面圖形為矩形且面積為2000m²的四級污水處理池，長，寬都不能超過60米，如果四周圍池壁建造單價為400元/m，中間三道隔墻建造單價為300元/m，池底建造單價為100元/m²，池壁的厚度忽略不計．設污水池的長為x米，總造價為f（x）元．
（1）求f（x）的解析式，并求出其定義域；
（2）求f（x）的最小值，并求出此時污水池的長和寬．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意污水池長為x米，則寬為米，表示出總造價f（x）
（2）對得到的函數f（x）選用合適的方法求最小值．
解答：解：（1）由題意污水池長為x米，則寬為米，則f（x）=400（2x+2-）+300×+2000×100
=800（x+）+200000
由得
所以函數定義域為{x|}
（2）f′（x）=800（1-），當時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
所以當x=60時，f（x）min=304666
所以當長為60米，寬為米時，f（x）的最小值為304666
點評：此題是一道實際應用題，考查了函數的最值求解，對于形如f（x）=ax+（a，b＞0）型求最值，可用基本不等式，或導數法．