Question

已知A（0，1），B（1，0），C（-3，-2）三點(diǎn)．
（Ⅰ）證明△ABC是直角三角形；
（Ⅱ）求△ABC的面積S；
（Ⅲ）試在x軸上找一點(diǎn)P使|PC|-|PA|最大（不必證明），求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）考察△ABC其中兩邊所在直線垂直即可，可以通過兩邊所在直線斜率乘積為-1來證明．
 （Ⅱ）由 （Ⅰ）可以證明AB⊥BC，因此S=

1

2

|AB|•|BC|，利用兩點(diǎn)距離公式求出|AB|，|BC|后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
（Ⅲ）A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D（0，-1），連CD交x軸于P點(diǎn)，則P使|PC|-|PA|最大．利用C，D，P三點(diǎn)共線 求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：（Ⅰ）∵k_AB=-1，k_BC=1，∴k_AB?k_BC=-1，
∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形…3分
（Ⅱ）|AB|=

(1-0)2+(0-1)2

=

2

，|BC|=

(0+3)2+(1+2)2

=3

2

∴三角形ABC的面積為：S=

1

2

|AB|•|BC|=

1

2

×

2

×3

2

=3（平方單位）…
（Ⅲ）A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D（0，-1），連CD交x軸于P點(diǎn)，則P使|PC|-|PA|最大．
設(shè)P（x，0），由C，D，P三點(diǎn)共線，則KCD=KDP⇒

1

3

=

1

x

⇒x=3
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（3，0）…（10分）

點(diǎn)評：本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩條直線垂直的判斷，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用，距離最值問題，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．