Question

若n=，則（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數是 ________；

Answer 1

179
分析：利用微積分基本定理求出n，將x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數轉化為（x+2）¹⁰的項的系數，利用二項展開式的通項公式求出
（x+2）¹⁰的通項求出展開式的系數．
解答：n=∫₁²（3x²-2）dx=（x³-2x）|₁²=5
（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數為（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中的x¹⁰系數
即（x+2）¹⁰展開式中x⁸的系數減去x¹⁰的系數
（x+2）¹⁰展開式的通項T_r+1=2^rC₁₀^rx^10-r
令10-r=8得r=2故展開式x⁸的系數是4C₁₀²=180
令10-r=10得r=0故展開式x¹⁰的系數是1
故（x+2）¹⁰（x²-1）展開式中xⁿ⁺⁵的系數是179
故答案為：179
點評：本題考查微積分基本定理、等價轉化的數學思想、利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．