Question

某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用a_n的信息如圖．
（1）求a_n；
（2）引進這種設備后，第幾年后該公司開始獲利；
（3）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

分析：（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n．
（2）設純收入與年數n的關系為f（n），則f（n）=20n-n²-25，由此能求出引進這種設備后第2年該公司開始獲利．
（3）年平均收入為

f(n)

n

=20-（n+

25

n

）≤20-2×5=10，由此能求出這種設備使用5年，該公司的年平均獲利最大．

解答：解：（1）如圖，a₁=2，a₂=4，
∴每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n．
（2）設純收入與年數n的關系為f（n），
則f（n）=21n-[2n+

n(n-1)

2

×2]-25=20n-n²-25，
由f（n）＞0得n²-20n+25＜0，
解得10-5

3

＜n＜10+5

3

，
因為n∈N，所以n=2，3，4，…18．
即從第2年該公司開始獲利．
（3）年平均收入為

f(n)

n

=20-（n+

25

n

）≤20-2×5=10，
當且僅當n=5時，年平均收益最大．
所以這種設備使用5年，該公司的年平均獲利最大．

點評：本題考查數列在生產實際中的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．