Question

某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用a_n的信息如圖．
（1）求a_n；
（2）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用的和a_n的信息圖，可得每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，根據等差數列通項公式的定義，易得答案．
（2）根據（1）中純收入與年數n的關系式，除以n后，即可得到年平均收入利用基本不等式，即可求出這種設備使用多少年時，該公司的年平均獲利最大．

解答：解：（1）由題意知，每年的費用是以2為首項，2為公差的等差數列，并求得：a_n=a₁+2（n-1）=2n…（3分）
（2）設第n年后獲利為y萬元，則

y=21n-Sn-25 =21n-[2n+ n(n-1) 2 •2]-25=20n-n2-25

，平均獲利為

y n = 21n-25-(2+4+…+2n) n = -n2+20n-25 n =-(n+ 25 n )+20≤-2 n• 25 n +20=10 當且僅當n=5時取等號．

所以這種設備使用5年，該公司的年平均獲利最大．

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，數列的應用，應注意n∈N*這個受實際情況限制的條件，從而給出合理的取值．