Question

銷售甲乙兩種商品所得的利潤分別為P（萬元）、Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）有如下關系：P=

3

5

t

，Q=

1

5

t．毛毛今將4萬元資金投入經營甲乙兩種商品，其中對甲種商品投資x（萬元）．
（1）試建立總利潤y（萬元）關于x的函數表達式，并寫出定義域；
（2）分別對甲乙兩種商品各投入多少萬資金才能使得獲取的總利潤最大？最大是多少？

Answer 1

分析：（1）利潤函數為y=甲商品所得的利潤P+乙商品所得的利潤Q=

3

5

x

+

1

5

（4-x），其中定義域為x∈[0，4]；
（2）若設t=

x

，則0≤t≤2；所以，函數y=-

1

5

t²+

3

5

t+

4

5

，其中t∈[0，2]；由二次函數的性質，得函數的最大值以及對應的t，x值．

解答：解：（1）利潤函數為：y=

3

5

x

+

1

5

(4-x)，其中x∈[0，4]；
（2）令t=

x

，其中0≤t≤2；則
y=-

1

5

t2+

3

5

t+

4

5

=-

1

5

(t-

3

2

)2+

5

4

，t∈[0，2]；
由二次函數的性質得，當t=

3

2

時，函數有最大值ymax=

5

4

，此時x=

9

4

；
所以，對甲投資

9

4

萬元，對乙投資

7

4

萬元時，獲得最大總利潤，為

5

4

萬元．

點評：本題考查了可化為二次函數模型的根式函數的應用，要注意變化前后的自變量范圍的改變，本題屬于基礎題．