Question

已知函數f（x）=（1-a²）x²-2bx+b²（-1＜b-1＜a）．用card（A）表示集合A中元素的個數，若使得f（x）＞0成立的充分必要條件是x∈A，且card（A∩Z）=4，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、（-1，2）
• B、（1，2）
• C、（2，3）
• D、（3，4）

Answer 1

分析：由card（A∩Z）=4知A中恰有4個整數，
即不等式f（x）＞0的解集中恰有4個整數解，
再由f（x）＞0?（x-b）²-（ax）²＞0?[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0求解．
分類討論，當-1＜a≤1時，原不等式的解集不符合題意；a＞1求出

3a-3＜4a-4 0＜1+a 3a-3＜1+a 0＜4a-4

的解集即可．

解答：解：依題意A中恰有4個整數，所以不等式f（x）＞0的解集中恰有4個整數解．
因為f（x）＞0?（x-b）²-（ax）²＞0?[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0，
當-1＜a≤1時，原不等式的解集不符合題意；
當a＞1時，[（1-a）x-b][（1+a）x-b]＞0?（a-1）（a+1）[x-

b

1-a

][x-

b

1+a

]＜0，
所以

b

1-a

＜x＜

b

1+a

．
因為

b

1+a

∈（0，1），所以

b

1-a

∈（-4，-3）．所以3a-3＜b＜4a-4．
又0＜b＜1+a，所以

3a-3＜4a-4 0＜1+a 3a-3＜1+a 0＜4a-4

解得1＜a＜2．
故選B．

點評：本題主要考查集合的關系和不等式的解法，在解題中1-a和1+a處在系數位置要注意正負的討論．