Question

【題目】如圖，直二面角中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，F為CE上的點，且平面ACE．

Ⅰ求證：平面BCE；

Ⅱ求二面角的余弦值；

Ⅲ求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）.

【解析】

要證明平面BCE，需要在平面BCE內找兩條相交直線都垂直于，而易證； 求二面角的余弦值，需要先作角，連接BD交AC交于G，連接FG，可證得是二面的平面角，在中求解即可； 求點D到平面ACE的距離，可以轉化為求三棱錐的高用等體積法求出即可。

解：平面

二面角為直二面角且．

平面

平面

連接BD交AC交于G，連接FG

正方形ABCD邊長為，

平面由三垂線定理的逆定理得．

是二面的平面角

平面BCE，

又，在等腰直角三角形AEB中，

又中，

中

二面角的正弦值等于

過點E作交AB于點O，

二面角為直二面角，平面ABCD

設D到平面ACE的距離為h，由，可得

點D到平面ACE的距離為