Question

已知函數f（x）的定義域為R，對任意實數x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）成立，且當x＞0時，有f（x）＞0，試判斷函數f（x）的奇偶性和單調性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：根據題意令x=y=0，解得f（0）=0．再令x₁=-x，x₂=x，證出f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數．在R上任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，從而證出f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，得到f（x₁）＜f（x₂），從而證出f（x）為R上的增函數．

解答：解：∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，則f（-x+x）=f（-x）+f（x）=f（0）=0，
可得f（-x）=-f（x），所以f（x）為R上的奇函數．
設R上任意的x₁、x₂滿足x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
得f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）為R上的增函數．

點評：本題給出抽象函數滿足的條件，判斷函數的奇偶性與單調性．著重考查了函數的簡單性質及其證明方法等知識，屬于中檔題．