Question

【題目】（本題滿分12分）已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合，且兩個坐標系的單位長度相同．已知直線l的參數方程為（t為參數），曲線C的極坐標方程為．

（Ⅰ）若直線l的斜率為-1，求直線l與曲線C交點的極坐標；

（Ⅱ）若直線l與曲線C相交弦長為，求直線l的參數方程（標準形式）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）（為參數）或（為參數）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由直線的參數方程可知其過定點，從而由直線方程的點斜式可得直線的普通方程，將曲線的極坐標方程按照極坐標和直角坐標互化公式將其化為直角坐標方程，然后將直線方程和曲線方程聯立求交點的直角作標，再將其化為極坐標． （Ⅱ）設出直線的斜率寫出直線方程的直角坐標方程，由（Ⅰ）知曲線時圓心為半徑為的圓．先求圓心到直線的距離，再根據勾股定理可得關于的方程，從而可求得的值．即可知直線的傾斜角，從而可得直線的參數方程．

試題解析：解：（Ⅰ）直線的方程：，即；（1分）

，即，（2分）

聯立方程得，∴；（4分）

極坐標為；（5分）

（Ⅱ），弦心距，（6分）

設直線l的方程為，∴ ，∴或．（8分）

∴直線： （為參數）或 （為參數）（10分）