Question

設a＞0，b＞0，已知函數f（x）=．
（1）當a≠b時，討論函數f（x）的單調性；
（2）當x＞0時，稱f（x）為a、b關于x的加權平均數．
（1）判斷f（1），f（），f（）是否成等比數列，并證明f（）≤f（）；
（2）a、b的幾何平均數記為G．稱為a、b的調和平均數，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）當a＞b＞0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜b時，f′（x）＜0，函數f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調遞減．
（2）見解析

（1）函數的定義域為{x|x≠﹣1}，
∴當a＞b＞0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜b時，f′（x）＜0，函數f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上單調遞減．
（2）（1）計算得f（1）=，f（）=，f（）=．
∵
∴f（1），f（），f（）成等比數列，
∵a＞0，b＞0，∴≤
∴f（）≤f（）；
（2）由（1）知f（）=，f（）=，
故由H≤f（x）≤G，得f（）≤f（x）≤f（）．
當a=b時，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此時x的取值范圍是（0，+∞），
當a＞b時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，這時有≤x≤，即x的取值范圍為≤x≤；
當a＜b時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，這時有≤x≤，即x的取值范圍為≤x≤．