Question

5．若直線y=kx+1（k＞0）與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有且只有一個交點，則k的值是$\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把直線方程代入雙曲線方程，轉化為求一元二次方程有一個根的情況，然后分類討論，即可得到答案

解答 解：已知直線y=kx+1①與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1②只有一個交點，即方程只要一個根
把方程①代入②，整理得方程（2-k²）x²-2kx-3=0③恰有一根，
（1）當k=$\sqrt{2}$時，方程③變為-2$\sqrt{2}$x-3=0，得x=-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，成立．
（2）當k=-$\sqrt{2}$時，方程③變為2$\sqrt{2}$x-3=0，得x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，成立．
（3）當k≠$±\sqrt{2}$時△=4k²+12（2-k²）=0，k=±$\sqrt{3}$
∵k＞0，∴k=$\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{2}$或$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查直線與圓錐曲線交點的問題，題中涉及到求一元二次方程有一個根的求法，用到分類討論思想和求判別式的方法，有一定的技巧性，屬于中檔題目．