Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（1）求證：CD⊥平面PAC；
（2）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，指出E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設PA=1，由勾股定理逆定理得AC⊥CD，根據線面垂直的性質可知PA⊥CD，又PA∩AC=A，根據線面垂直的判定定理可知CD⊥面PAC，
（2）在棱PD上存在一點E，E為PD中點，使CE∥平面PAB，取AD的中點為F．連接EF，CF．由題設條件推導出EF∥PA，CF∥AB，得到面EFC∥面PAB，由此能夠證明CE∥面PAB．

解答 解：（1）證明：設PA=1．
由題意PA=BC=1，AD=2．
∵AB=1，BC=$\frac{1}{2}$，由∠ABC=∠BAD=90°．易得CD=AC=$\sqrt{2}$．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．
又∵PA⊥面ABCD，CD?面ABCD，
∴PA⊥CD．又PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
（2）在棱PD上存在一點E，E為PD中點，使CE∥平面PAB
理由：取AD的中點F．連接EF，CF．
∵PA⊥面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=$\frac{1}{2}$AD，E為PD的中點．
∴EF∥PA，CF∥AB，
∴面EFC∥面PAB，
所以CE∥面PAB．∴棱PD上存在一點E，E為PD中點，使CE∥平面PAB．

點評 本小題主要考查空間中的線面關系，考查線面平行、面面垂直的判定，考查空間想象能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于中檔題．