Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距是2，離心率是0.5
（1）求橢圓的方程．
（2）經過A（1，2），傾斜角為45⁰的直線l與橢圓C相交于M、N兩點，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）由題設求出c，結合離心率求出a，利用b²=a²-c²求出b²，則橢圓方程可求；
（2）寫出直線l的方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系得到直線和橢圓兩個交點的橫坐標的和與積，由弦長公式得答案．

解答：解：（1）由2c=2，得c=1，又e=

c

a

=0.5，所以a=2．
則b²=a²-c²=4-1=3．
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）過A（1，2），傾斜角為45⁰的直線l的斜率為1，方程為y-2=1×（x-1），
即y=x+1．
聯立

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0．
設M（x₁，x₂），N（x₂，y₂）．
x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

，
所以|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(- 8 7 )2-4×(- 8 7 )

=

24

7

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了一元二次方程根與系數關系，訓練了弦長公式，是中檔題．