Question

7．已知函數(shù)f（x）滿足$f（x）-2f（\frac{1}{x}）=\frac{3}{x^2}$，則f（x）的最大值是（　　）

• A． -2
• B． $-2\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)恒等式得出$f（x）-2f（\frac{1}{x}）=\frac{3}{x^2}$，f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=3x²，解方程組得出f（x）=-（2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$），運用基本不等式求解即可．

解答 解：∵$f（x）-2f（\frac{1}{x}）=\frac{3}{x^2}$，
把x換為$\frac{1}{x}$，可得
f（$\frac{1}{x}$）-2f（x）=3x²，
解方程組得出：f（x）=-（2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∵2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{1}{{x}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴-（2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）≤-2$\sqrt{2}$，
當且僅當2x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$時取得最大值-2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了運用轉化變量，解方程組的方法求解函數(shù)解析式，運用基本不等式求解函數(shù)最值的方法，屬于中檔題．