Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+a．
（1）若0＜a＜1，證明：f（x）在區(qū)間（0，

π

4

）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意x∈（0，

π

2

），不等式f（x）＞2x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可證明．
（2）不等式f（x）＞2x可化為sinx-cosx-x+a＞0，即a＞x-sinx+cosx，令h（x）=x-sinx+cosx，從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題．

解答： 解：（1）證明：∵f′（x）=cosx+sinx+1＞0，x∈（0，

π

4

），
∴函數(shù)f（x）=sinx-cosx+x+a在（0，

π

4

）上單調(diào)遞增，
又∵f（0）=0-1+0+a=a-1＜0，f（

π

4

）=

π

4

+a＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，

π

4

）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）不等式f（x）＞2x可化為sinx-cosx-x+a＞0，
即a＞x-sinx+cosx，
令h（x）=x-sinx+cosx，
則h′（x）=1-cosx-sinx=1-

2

sin（x+

π

4

），
∵x∈（0，

π

2

），
∴h′（x）＜0，
∴h（x）=x-sinx+cosx在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，
故a＞x-sinx+cosx恒成立可化為a≥0-sin0+cos0，
即a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理與恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．